Quotientenregel

Sind zwei Funktionen u und v in x_0 differenzierbar, und ist v(x) \neq 0, dann ist die Quotientenfunktion q(x) an der Stelle x_0 differenzierbar und es gilt:

q(x) = \frac{u(x)}{v(x)} (Funktion)

q'(x)=\frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{{v(x)}^2} (Ableitungsfunktion)

kurz

q'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^2}

Beweis

Um die Quotientenregel formell zu beweisen kann man Gebrauch von der Produktregel und der Kettenregel machen.

q(x)=\frac{u(x)}{v(x)} ist dafür umzuschreiben in p(x)=u(x)\cdot \frac{1}{v(x)}.

q'(x)=u'(x)\cdot \frac{1}{v(x)}+u(x)\cdot (-\frac{1}{{v(x)}^2})\cdot v'(x)

q'(x)=\frac{u'(x)}{v(x)}-\frac{u(x)\cdot v'(x)}{{v(x)}^2}

Nun muss nur noch der Nenner gleich gemacht werden.

q'(x)=\frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{{v(x)}^2}

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