Substitutionsverfahren

Beim Substitutionsverfahren substituiert man x^2 = z, damit man eine Gleichung des 4. Grades lösen kann. Idem man eine Gleichung 4. Grades substituiert bekommt man eine quadratische Gleichung, die man mit der p-q-Formel berechnen kann.

Beispiel

    \[f(x)=x^4+2x^2-8\]

Nun substituiert man x^2 = z

    \[f(x)=z^2+2z-8\]

und kann die p-q-Formel benutzen um auf die beiden möglichen Lösungen der Variable z zu kommen.

    \[{z}_{1/2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{ (\frac{p}{2})^2-q}\]

    \[{z}_{1/2}=-1 \pm \sqrt{ 1^2+8}\]

    \[{z}_{1/2}=-1 \pm 3\]

    \[{z}_{1}=2\]

    \[{z}_{2}=-4\]

Jetzt muss man rücksubstituieren, denn z_1 und z_2 sind ja nicht die Lösungen der originalen Gleichung, sondern die der substituierten.

Es muss die Wurzel aus den Ergebnissen gezogen werden.

    \[x^2=2\]

    \[x_1=\sqrt{2}\]

    \[x_2=-\sqrt{2}\]

    \[x^2=-4\]

Die Wurzel aus eine negativen Zahl zu ziehen ist nicht möglich.

Wir haben nun zwei Lösungen für die originale Gleichung gefunden.

1 Antwort zu “Substitutionsverfahren”

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