Binomische Formeln

Es gibt 3 binomische Formeln in der Mathematik. Die ersten beiden sind ähnlich aufgebaut und die dritte ist auf jeden Fall leichter als die anderen beiden. Ich versuche jede einzelne so gut wie möglich zu erklären. Viel Spaß und Erfolg!

1. binomische Formel

Die 1. binomische Formel sieht folgendermaßen aus:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Da denkt man sich jetzt erst mal wie das denn kommen kann oder? Die Erklärung ist ganz einfach, denn (a + b)² ist nichts anderes als (a + b) (a + b). Wie das jetzt zu a² + 2ab + b² wird zeige ich hier:

  1. a a = a²
  2. a b = ab
  3. b a = ab (ist egal wie rum man das schreibt)
  4. b b = b²
  5. Wenn wir alles zusammenfügen bekommen wir das heraus: a² + ab + ab + b²
  6. Diese beiden ab muss man noch zusammenfügen: a² + 2ab + b² somit wissen wir jetzt schon mal wie man auf diese Form kommt.

Was ist wenn wir jetzt aber einen solchen Term haben?

  1. 4x 4x = 16x²
  2. 4x 2y = 8xy
  3. 2y 4x = 8xy
  4. 2y 2y = 4y²
  5. Zusammenfügen = 16x² + 8xy + 8xy + 4y²
  6. Endgleichung = 16x² + 16xy + 4y²

Kein wirkliches Problem mehr oder?

Wir können uns das Ganze aber noch einfacher machen und die allgemeine Gleichung der 1. binomischen Formel zu nutzen machen.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Stellen wir uns jetzt mal vor, dass a „Das Erste“ und b „Das Zweite“ ist → (a + b)² = (Erste + Zweite)². Du wirst sehen, dass das eine ziemlich gute „Eselsbrücke“  sein kann.

a² + 2ab + b² = (Das Erste)² + 2 ⋅ (Das Erste ⋅ Das Zweite) + (Das Zweite)²

Und das können wir jetzt ganz leicht an einem Beispiel ausprobieren:

    \[\left( 3x+4y\right) ^{2}=\left( 3x\right) ^{2}+2\left( 3x\cdot 4y\right) +\left( 4y\right) ^{2}\]

    \[=9x^{2}+2\cdot 12xy+16y^{2}\]

Wichtig ist, dass man bei (3x)² und (4y)² die Zahl und die Variable (x und y) hoch 2 nimmt.

2. binomische Formel

Die 2. binomische Formel sieht folgendermaßen aus:

(a – b)² = a² – 2ab + b²

Hier auch wieder die Erklärung: (a – b)² ist nichts anderes als (a – b) (a – b). Wie das jetzt zu a² – 2ab + b² wird zeige ich hier:

  1. a a = a²
  2. a b = ab
  3. b a = ab
  4. b b = b²
  5. Wenn wir alles zusammenfügen bekommen wir das heraus: a² – ab + ab + b²
  6. Diese beiden ab muss man noch zusammenfügen: a² – 2ab + b² somit wissen wir jetzt schon mal wie man auf diese Form kommt.

Was ist wenn wir jetzt aber einen solchen Term haben?

  1. 4x 4x = 16x²
  2. 4x 2y = 8xy
  3. 2y 4x = 8xy
  4. 2y 2y = 4y²
  5. Zusammenfügen = 16x² – 8xy + 8xy + 4y²
  6. Endgleichung = 16x² – 16xy + 4y²

Eigentlich nicht so kompliziert oder?

Wir können uns das Ganze aber noch einfacher machen und die allgemeine Gleichung der 2. binomischen Formel zu nutzen machen.

(a + b)² = a² – 2ab + b²

Wenden wir jetzt nur noch unsere Eselsbrücke a „Das Erste“ und b „Das Zweite“ an → (ab)² = (ErsteZweite)².

a² – 2ab + b² = (Das Erste)² – 2 ⋅ (Das Erste ⋅ Das Zweite) + (Das Zweite)²

Und das können wir jetzt ganz leicht an einem Beispiel ausprobieren:

    \[\left( 3x-4y\right) ^{2}=\left( 3x\right) ^{2}-2\left( 3x\cdot 4y\right) +\left( 4y\right) ^{2}\]

    \[=9x^{2}-2\cdot 12xy+16y^{2}\]

Wichtig ist, dass man bei (3x)² und (4y)² die Zahl und die Variable (x und y) hoch 2 nimmt.

3. binomische Formel

Die 1. binomische Formel sieht folgendermaßen aus:

(a – b) (a + b) = a² – b²

Hier die Erklärung, wie (a – b) ⋅ (a + b) zu a² – b² wird:

  1. a a = a²
  2. a b = ab
  3. b (- a) = – ab
  4. (- b) ⋅ b = – b²
  5. Wenn wir alles zusammenfügen bekommen wir das heraus: a² + ab – ab – b²
  6. Diese beiden ab muss man noch zusammenfügen. Dadurch, dass beide ab jeweils ein anderes Vorzeichen haben eliminieren sie sich gegenseitig.
  7. Endgleichung = a² – b²

Hier ist das Beispiel mit echten Zahlen:

  1. 7x 7x = 49x²
  2. 7x 4y = 28xy
  3. (- 4y) 7x = – 28xy
  4. (- 4y) 4y = – 16y²
  5. Wenn wir alles zusammenfügen bekommen wir das heraus: 49x² + 28xy – 28xy – 16y²
  6. Diese beiden 28xy muss man noch zusammenfügen. Dadurch, dass beide 28xy jeweils ein anderes Vorzeichen haben eliminieren sie sich gegenseitig.
  7. Endgleichung = 49x² – 16y²

Nicht schlecht bis jetzt nicht wahr?

Wir können uns das Ganze aber noch einfacher machen und die allgemeine Gleichung der 3. binomischen Formel zu nutzen machen.

(a – b) ⋅ (a + b) = a² – b²

Wenden wir nun wieder die Eselsbrücke a „Das Erste“ und b „Das Zweite“ an → (ab (a + b) = (ErsteZweite) ⋅ (Erste + Zweite).

a² – b² = (Das Erste)² – (Das Zweite)²

Und das können wir jetzt ganz leicht an einem Beispiel ausprobieren:

    \[\left( 3x-4y\right) \cdot \left( 3x+4y\right) =\left( 3x\right) ^{2}\cdot \left( 4y\right) ^{2}\]

    \[=9x^{2}-16y^{2}\]

Wichtig ist, dass man bei (3x)² und (4y)² die Zahl und die Variable (x und y) hoch 2 nimmt.

So, das waren die 3 binomischen Formeln oder auch Binom genannt.

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