Gleichungssysteme

Gleichungssysteme rechnerisch lösen

Es gibt das Einsetzungsverfahren, das Gleichsetzungsverfahren und das Additionsverfahren. Mit den drei verschiedenen Verfahren kann man Gleichungssysteme  lösen. Aber kommen wir zur Sache!

Einsetzungsverfahren:

Gleichungssystem:

I 2x + 4y = 8

II x + y = 6

1. Schritt:

Eine der Gleichungen nach einer der Variablen (x oder y) auflösen.

x + y =6     | – y

x = 6 – y

2. Schritt

Der Term der dabei entsteht wird in die andere Gleichung eingesetzt, sodass eine Gleichung mit nur einer Variable entsteht.

2x + 4y = 8

2 ⋅ (6 – y) + 4y = 8

3. Schritt:

Nun muss die Gleichung nach der noch bestehenden Variable umgestellt werden.

2 ⋅ (6 – y) + 4y = 8

12 – 2y + 4y = 8

12 + 2y = 8     | – 12

2y = – 4     | : 2

y = – 2

4. Schritt:

Setze jetzt das Ergebnis, welches herauskommt in die Ausgangsgleichung ein und stelle nach der anderen Variable um. Dabei ist egal welche der beiden Gleichungen du verwendest.

x + y = 6

x + (- 2) = 6     | – (- 2)

x = 8

Probe:

Bei der Probe musst du nur noch deine Ergebnisse zu x und y in beide Ausgangsgleichungen einsetzen.

I 2 8 + 4  (- 2) = 8

II 8 + (- 2) = 6

Gleichsetzungsverfahren:

Gleichungssystem:

I 2x + 4y = 10

II x + y = 4

1. Schritt:

Entweder beide Gleichungen nach y oder beide Gleichungen nach x umstellen. Ich habe sie in dem Beispiel nach x umgestellt.

  • Gleichung 1

2x + 4y = 10     | – 4y

2x = 10 – 4y      | : 2

x = 5 – 2y

  • Gleichung 2

x + y = 4     | – y

x = 4 – y

2. Schritt:

Jetzt musst du die Ergebnisse beider „x“ mit einem Gleichheitszeichen dazwischen hinschreiben.

5 – 2y = 4 – y

3. Schritt:

Stelle jetzt die Gleichung nach der Variable die noch vorhanden ist um.

5 – 2y = 4 – y     | – 5

– 2y = – 1 – y     | + y

– 1y = – 1          | : (- 1)

y = 1

4. Schritt:

Setze die Lösung die du herausbekommst in eine deiner Gleichungen im Gleichungssystem ein und stelle nach der Variable um die noch übrig ist. Dabei ist egal welche der beiden Gleichungen du verwendest.

x + y = 4

x + 1 = 4     | – 1

x = 3

Probe:

Bei der Probe musst du nur noch deine Ergebnisse zu x und y in beide Ausgangsgleichungen einsetzen.

I 2  3 + 4 ⋅ 1 = 10

II 3 + 1 = 4

Additionsverfahren:

Gleichungssystem:

I 2x + 4y = 10

II x + y = 4

1. Schritt:

Durch mal nehmen einer oder beider Gleichungen wird erreicht, dass entweder vor beiden y oder vor beiden x die gleichen Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen stehen. Bitte beachten, dass wenn man eine Gleichung mit einem Faktor multipliziert, die ganze Gleichung mit dieser Zahl mal genommen wird. Im Beispiel habe ich das mit x gemacht. Die verschiedenen Vorzeichen bekommt man, wie im Beispiel gezeigt, indem man mit einer negativen oder positiven Zahl multipliziert.

2x + 4y = 10

x + y = 4       | (- 2)

=

2x + 4y = 10

– 2x – 2y = – 8        (Die ganze Gleichung wurde mal – 2 genommen)

2. Schritt:

Jetzt sind die Gleichungen zu Addieren, sodass sich eine Variablenart eliminiert.

2x + 4y = 10

+                              Der fett gedruckte Teil eliminiert sich gegenseitig: 2 + (- 2) = 0

– 2x – 2y = – 8

=

2y = 2

3. Schritt:

Stelle jetzt nach der übrig gebliebenen Variable um.

2y = 2     | : 2

y = 1

4. Schritt:

Gib das Ergebnis welches du erhalten hast in eine der beiden Ausgangsgleichungen und stelle nach der noch übrigen Variable um. Dabei ist egal welche der beiden Gleichungen du verwendest.

2x + 4y = 10

2x + 4 1 = 10

2x + 4 = 10     | – 4

2x = 6             | : 2

x = 3

Probe:

Bei der Probe musst du nur noch deine Ergebnisse zu x und y in beide Ausgangsgleichungen einsetzen.

I 2 3 + 4  1 = 10

II 3 + 1 = 4

 

Ich hoffe ich konnte damit ein paar Probleme beseitigen. Wenn noch fragen offen sind, dann einfach unten einen Kommentar schreiben.

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