Quadratische Ergänzung

Bei der quadratischen Ergänzung ist das Ziel entweder die Gleichung zu lösen (also x und x₂ ermitteln) oder den Scheitelpunkt herauszubekommen z.B. S (- 3 | 4). Wenn es blöd kommt muss man sogar beides machen. Eine quadratische Gleichung sieht im Grunde genommen so aus: f(x) = ax² + bx + c. Hier kann man aber keinen Scheitelpunkt oder x₁ und x₂ ablesen, weshalb man die quadratische Ergänzung verwenden muss.

Es gibt 2 Arten von quadratischen Gleichungen die in der quadratischen Ergänzung ein Wenig anders berechnet werden 1. welche mit keiner Zahl vor dem x² und 2. welche mit einer Zahl vor dem x². Ich werde hier auf beide Möglichkeiten eingehen.

Beispiel für eine quadratische Ergänzung mit keiner Zahl vor x²:

f(x) = x² + 14x + 38

Schritt 1: Halbiere die zahl die vor dem einfachen x steht.

0 = x² + 2 ⋅ 7x + 38

Schritt 2: Erweitere quadratisch indem du die Zahl die vor dem x steht mit einem ² + und gleich danach – rechnest. In diesem Fall wäre es 7².

0 = x² +2 ⋅ 7x + 7² – 7² + 38

Schritt 3: Fasse nun den fett markierten Teil des Terms zusammen. Die 7² und die 38 rechnest du zusammen und schreibst sie außerhalb der Klammer hin.

0 = (x² + 2 ⋅ 7x + 7²) – 11

Schritt 4: Fasse jetzt die klammer mithilfe der 1. oder 2. binomischen Formel zusammen. In unserem Fall ist es die 1. binomische Formel, weil 2 mal + vorkommt. Falls du dir die binomischen Formeln wieder in Erinnerung rufen willst klicke hier.

0 = (x + 7)² – 11

Ab hier kannst du den Scheitelpunkt ganz leicht ablesen. Als erstes musst du das Vorzeichen der Zahl in der Klammer ändern und die Zahl außerhalb bleibt so. Der Scheitelpunkt liegt also bei S (-7 | – 11).

Außerdem kannst du noch weiter gehen und x₁ und x₂ ermitteln indem du folgende Schritte machst:

  1. Schritt: Du hast jetzt diese Gleichung → 0 = (x + 7)² – 11 ← die musst du jetzt wie folgt aufschreiben: 0 = ((x + 7) + 11) ⋅ ((x + 7) – 11) Wenn in der Klammer ein Minus stünde, würde das natürlich auch so übertragen werden. das Vorzeichen der Zahl nach der Klammer ist in dem Fall egal und wird einmal mit + und einmal mit – geschrieben. x wird 0 gestellt bevor die Gleichung ausgerechnet werden kann (x = 0).
  2. Schritt: Die Gleichung mit den vielen Klammern sieht erst mal sehr schwer aus. Wenn man diese ausrechnet sieht sie so aus: (x + 18) ⋅ (x – 4) = 0
  3. Nun muss man nur noch die 18 und die – 4 mit vertauschtem Vorzeichen x und x₂ zuordnen → x = – 18 und x = 4

Beispiel für eine quadratische Ergänzung mit irgendeiner Zahl vor x²:

f(x) = 3x² + 18x + 82

Schritt 1: Klammere 3 vor den x – Termen aus. Falls du dir das Ausklammern wieder in Erinnerung rufen willst klicke hier.

0 = 3 (x² + 6x) + 82

Schritt 2: Halbiere die zahl die vor dem einfachen x steht.

0 = 3 (x² + 2 ⋅ 3x) + 82.

Schritt 3: Erweitere quadratisch indem du die Zahl die vor dem x steht mit einem ² + und gleich danach – rechnest. In diesem Fall wäre es 3².

0 = 3 (x² + 2 ⋅ 3x + 3² – 3²) + 82

Multipliziere die – 3² aus der Klammer aus indem du das was vor der Klammer ist mit – 3² mal nimmst. Also 3 ⋅ (- 3²) = 3 ⋅ (- 9) = – 27

0 = 3 (x² + 2 ⋅ 3x + 3²) – 27 + 82

Schritt 4: Fasse jetzt die klammer mithilfe der 1. oder 2. binomischen Formel zusammen. In unserem Fall ist es die 1. binomische Formel, weil 2 mal + vorkommt. Falls du dir die binomischen Formeln wieder in Erinnerung rufen willst klicke hier.

0 = 3 (x² + 3x) – 27 + 82

Schritt 5: Addiere wenn nötig die Zahlen nach der Klammer.

0 = 3 (x + 3)² + 55

Ab hier kannst du den Scheitelpunkt ganz leicht ablesen. Als erstes musst du das Vorzeichen der Zahl in der Klammer ändern und die Zahl außerhalb bleibt so. Der Scheitelpunkt liegt also bei S (- 3 | 55).

Außerdem kannst du noch weiter gehen und x₁ und x₂ ermitteln indem du folgende Schritte machst:

  1. Schritt: Du hast jetzt diese Gleichung → 0 = (x + 3)² – 55 ← die musst du jetzt wie folgt aufschreiben: 0 = ((x + 3) + 55) ⋅ ((x + 3) – 55) Wenn in der Klammer ein Minus stünde, würde das natürlich auch so übertragen werden. das Vorzeichen der Zahl nach der Klammer ist in dem Fall egal und wird einmal mit + und einmal mit – geschrieben. x wird 0 gestellt bevor die Gleichung ausgerechnet werden kann (x = 0).
  2. Schritt: Die Gleichung mit den vielen Klammern sieht erst mal sehr schwer aus. Wenn man diese ausrechnet sieht sie so aus: 0 = (x + 58) ⋅ (x – 52)
  3. Nun muss man nur noch die 58 und die – 52 mit vertauschtem Vorzeichen x und x₂ zuordnen → x = – 58 und x = 52

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