Grenzwerte für Funktionen

Der Grenzwert für $x\to\infty$ und $x\to -\infty$

Den Grenzwert von Funktionen gegen $\infty$ und $-\infty$ beschreibt man folgender Maßen:

$\lim_{x\to \infty} f(x)$

Wir nutzen die Funktion $f(x)=\frac{x+1}{x-2}$ als Beispiel.

Vermutung

Eine Vermutung kann man z. B. durch einen Graphen aufstellen.

$\lim_{x\to\infty} f(x) = 1$

Testwerte

$x$	$f(x)$
10	1,371
100	1,03
1000	1,003
$\downarrow$	$\downarrow$
$x \to \infty$	$f(x)\rightarrow 1$

Testfolge

Die Testfolge ist dafür da eine unendliche Menge in einen Grenzwert der Funktion einzusetzen.

$x_n = n$

$n \in \mathbb{N}$

Die Testfolge $x_n$ beinhaltet Alle natürlichen Zahlen.

$\lim_{n \to \infty}n=\infty$

Funktionswertfolge

Die Testfolge ist nun in die Funktion, die es zu prüfen gilt, einzusetzen.

Bei $f(x)=\frac{x+1}{x-2}$ würde das folgendermaßen aussehen.

$f(x_n)=\frac{n+1}{n-2}$

Nun läuft $n$ gegen $\infty$

$\lim_{n \to \infty}(\frac{n+1}{n-2})$

$= \lim_{n \to \infty}\frac{n(1+\frac{1}{n})}{n(1-\frac{2}{n})}$

$= \lim_{n \to \infty}\frac{1+\frac{1}{n}}{1-\frac{2}{n}}= \frac{1}{1} = 1$

und es ist leicht zu sehen, dass der Grenzwert $1$ ist.

Allgemeine Testfolge

$x_n$

$\lim_{n\to \infty}x_n=\infty}$

$f(x_n)=\frac{x_n+1}{x_n-2}$

$\lim_{x_n \to \infty}(\frac{x_n+1}{x_n-2})$

$= \lim_{x_n \to \infty}\frac{x_n(1+\frac{1}{x_n})}{x_n(1-\frac{2}{x_n})}$

$= \lim_{x_n \to \infty}\frac{1+\frac{1}{x_n}}{1-\frac{2}{x_n}}= \frac{1}{1} = 1$

Der Grenzwert an einer Stelle $x_0$

Den Grenzwert von Funktionen gegen $x_0$ beschreibt man folgender Maßen:

$\lim_{x\to x_0} f(x)$

Wir nutzen die Funktion $f(x)= \frac{x^2-1}{x-1}$ als Beispiel und gucken uns den Grenzwert an der Stelle $x_0=1$ an.

Vermutung

Eine Vermutung kann man z. B. durch einen Graphen aufstellen.

$\lim_{x\to\infty} f(x) = 2$

Testwerte

$x$	$f(x)$
1,1	2,1
1,01	2,01
1,001	2,001
$\downarrow$	$\downarrow$
$x \to 1$	$f(x)\rightarrow 2$

Testfolge

Die Testfolge ist dafür da eine unendliche Menge in einen Grenzwert der Funktion einzusetzen.

$x_n = 1+\frac{1}{n}$

$n \in \mathbb{N}$

Die Testfolge $x_n$ hat den Grenzwert $1$ um der Stelle $x_0=1$ nahe zu kommen.

$\lim_{n \to \infty}1+\frac{1}{n}=1$

Funktionswertfolge

Die Testfolge ist nun in die Funktion, die es zu prüfen gilt, einzusetzen.

Bei $f(x)= \frac{x^2-1}{x-1}$ würde das folgendermaßen aussehen.

$f(x)=\frac{(1+\frac{1}{n})^2-1}{1+\frac{1}{n}-1}$

Nun läuft $n$ gegen $\infty$

$\lim_{n \to \infty}\frac{(1+\frac{1}{n})^2-1}{1+\frac{1}{n}-1}$

$= \lim_{n \to \infty}\frac{1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}-1}{1+\frac{1}{n}-1}$

$= \lim_{n \to \infty}\frac{\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{n}}$

$= \lim_{n \to \infty}(\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2})\cdot \frac{n}{1}$

$= \lim_{n \to \infty}2+\frac{1}{n}= 2$

und es ist leicht zu sehen, dass der Grenzwert $2$ ist.

Allgemeine Testfolge

$x_n$

$\lim_{n\to \infty}x_n=\infty}$

$f(x_n)=\frac{{x_n}^2-1}{x_n-1}$

$\lim_{n \to \infty}\frac{{x_n}^2-1}{x_n-1}$

$= \lim_{n \to \infty}\frac{(x_n-1)(x_n+1)}{x_n-1}$

$= \lim_{n \to \infty}x_n+1$

Grenzwerte für Funktionen

Der Grenzwert für $x\to\infty$ und $x\to -\infty$

Vermutung

Testwerte

Testfolge

Funktionswertfolge

Allgemeine Testfolge

Der Grenzwert an einer Stelle $x_0$

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