Grenzwerte zeigen einem welchen Wert die Funktion an einer bestimmten Stelle oder im Unendlichen annehmen.
konstante Funktionen
identische Funktionen
Grenzwertsätze für Funktionen
Wenn und
Funktionen mit den Grenzwerten
und
sind dann gilt:
Bei muss
und
in einer Umgebung von
gelten.
Existieren die Einzelgrenzwerte nicht, kann keine Schlussfolgerung über einen Gesamtgrenzwert gezogen werden.
Grenzwertbestimmung mit Testeinsetzungen
Bestimme das Grenzverhalten der Funktion im Unendlichen.
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10 | 2,1 |
100 | 2,01 |
1000 | 2,001 |
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Bestimme das Grenzverhalten der Funktion an der Stelle
.
Linksseitiger Grenzwert
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1,9 | 3,9 |
1,99 | 3,99 |
1,999 | 3,999 |
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rechtsseitiger Grenzwert
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2,1 | 4,1 |
2,01 | 4,01 |
2,001 | 4,001 |
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Grenzwertbestimmung mittels Termvereinfachung
Der Funktionsterm soll in einfacher zu beurteilende Teilterme vereinfacht werden. Dies kann man mit den binomischen Formeln, „Auseinanderziehen“ des Bruches und der Division oder Ausklammern erreichen.
binomische Formeln
kann man so
umschreiben und dann den Faktor
rauskürzen, sodass
entsteht.
„Auseinanderziehen“ und Division
In kann man auch so
umschreiben und auf
vereinfachen.
Nach diesen Verfahren kann man die Grenzwerte einfacher erkennen und berechnen.
Grenzwertbestimmung mit der h-Methode
Die h-Methode besteht darin, dass man für setzt und dann mit
gegen
strebt. Mit der Methode kann man kritische Stellen wie Definitionslücken gut auf ihr Verhalten überprüfen.
Beispiel
soll an der Stelle
überprüft werden, da sie an dieser nicht definiert ist.
Jetzt wird gesetzt.
Die h-Methode ist oft die einfachste Methode zur Berechnung von Grenzwerten. Sie ermöglicht häufig eine Anwendung der Binomischen Formeln. Dadurch ergeben sich Vereinfachungen, welche die Grenzwertbestimmung erleichtern bzw. überhaut erst ermöglichen.
2 Antworten zu “Berechnen von Grenzwerten”