Anwendung von Ableitungen

Das Steigungsproblem

Es wird behandelt, welche Steigung die Stelle x_0 hat oder welche Stelle die angegebene Steigung besitzt.

Stelle gegeben

Es wird die Tangentensteigung m an der Stelle x_0 gesucht. Die Steigung berechnet wird berechnet, indem x_0 in f'(x) eingesetzt wird.

m=f'(x_0)

Steigung gegeben

Es wird die Stelle x_0 gesucht an der sich die gegebene Steigung m befindet. Dafür muss die erste Ableitung mit der Steigung m gleichgesetzt werden und nach x umgestellt werden.

f'(x)=m

Das Steigungswinkelproblem

Hierbei wird beantwortet, welchen Steigungswinkel die Funktion an der Stelle x_0 hat.

Mithilfe des Arkustangens wird die herausgefundene Steigung in einen Winkel umgewandelt.

\tan \alpha = f'(x_0)

\alpha = \arctan f'(x_0)

Das Extremalproblem

Klärung der Hoch- und Tiefpunkt einer Funktion f.

Um den Hoch- oder Tiefpunkt einer Funktion f zu finden muss die f'(x) null gesetzt werden und das Ergebnis bzw. die Ergebnisse in f''(x) eingesetzt werden. Wenn die Einsetzung in die 2. Ableitung ein negatives Ergebnis ausgibt, dann handelt es sich um einen Hochpunkt. Gibt sie jedoch einen positiven Wert auch handelt es sich um eine Tiefpunkt.

f'(x) = 0

f''(x_1) < 0 \Rightarrow Hochpunkt

Um den y-Wert zu berechnen setzt man den beim Nullsetzen der 1. Ableitung gefundenen x-Wert in die Funktion f(x) ein.

y_1 = f(x_0)

Das Tangentenproblem

Die Gleichung der Tangente wird an der Stelle x_0 auf der Funktion f(x) gefunden.

Ansatz

t(x)=mx+n

Werte

t(x)=f(x)

m=f'(x)

x=x_0

n berechnen

f(x)=f'(x)\cdot x_0 + n

n=f(x)-f'(x)\cdot x_0

Tangentengleichung

t(x)=f'(x) \cdot x + (f(x)-f'(x)\cdot x_0)

Das Schnittwinkelproblem

Schneiden sich die Graphen von f und g an der Stelle x_0, so bilden ihre Tangenten dort zwei Winkel \gamma und \gamma' miteinander.

Den kleineren der beiden Winkel bezeichnet man als Schnittwinkel \gamma von f und g an der Stelle x_0, wenn (0\leq \gamma \leq 90^{\circ}) gilt.

1. Steigungswinkel \alpha von f bei x_0

\tan \alpha=f'(x_0)

\alpha = \arctan(f'(x_0))

2. Steigungswinkel \beta von g bei x_0

\tan \alpha=g'(x_0)

\alpha = \arctan(g'(x_0))

Winkelberechnung

\gamma '= |\alpha - \beta|

Wenn \gamma '> 90^{\circ} dann ist der \gamma = 180-\gamma '. Andernfalls ist der \gamma = \gamma '.

Das Berührproblem

Es wird geprüft ob sich die Graphen von f und g nur in einem „treffen“.

Ansatz

Erst muss bewiesen werden, dass gleiche Funktionswerte existieren. Sie müssen sich ja in einem Punkt treffen um sich zu berühren. Es muss durch Gleichstellung der Funktionen die Stelle x_0 gefunden werden.

f(x)=g(x)

Nun muss bewiesen werden, dass die Funktionen an der vorher gefundenen Stelle x_0 die Gleiche Steigung haben. Dazu setze man diese in die ersten Ableitungen ein müsste die Gleichstellung eine wahre Aussage ergeben.

f'(x)=g'(x)

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