Ableitungsregeln

Veröffentlicht am 18. Januar 202018. Januar 2020 by Simon

Mit Ableitungsregeln kann man Ableitungen schneller ausrechnen.

Potenzregel

$f(x)=x^n$

$f'(x)=nx^{n-1}$

Beispiel

$f(x)=x^2$

$f'(x)=2x$

$g(x)=x^4$

$g'(x)=4x^3$

Konstantenregel

Konstanten werden beim Ableiten null.

$f(x)=c$

$f'(x)=0$

Beispiel

$f(x)=4$

$f'(x)=0$

Summenregel

Sind zwei Funktionen $f$ und $g$ an der Stelle $x_0$ differenzierbar, so ist auch die Summenfunktion $s$ an der Stelle $x_0$ differenzierbar und es gilt:

$s(x)=f(x)+g(x)$

$s'(x)=f'(x)+g'(x)$

Beispiel

$f(x)=x^2+x^3$

$f'(x)=2x+3x^2$

Faktorregel

Faktoren bleiben beim Ableiten erhalten.

$f(x)=c\cdot f(x)$

$f'(x)=c\cdot f'(x)$

$c \in \mathbb{R}$

Beispiel

$f(x)=3x^4$

$f'(x)=3\cdot 4x^3 = 12x^3$

Quadratwurzelregel

Die Ableitung von $\sqrt{x}$ ist $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ für $x>0$ .

Reziprokenregel

Die Ableitung von $\frac{1}{x}$ ist $-\frac{1}{x^2}$ für $x \neq 0$ .

Kettenregel

$h(x_0)=f(g(x_0))$ (Funktion)

$h'(x_0)=f'(g(x_0))\cdot g'(x_0)$ (Ableitungsfunktion)

Post: Kettenregel (ausführliche Erklärung mit Beispielen)

Produktregel

Sind zwei Funktionen $u$ und $v$ differenzierbar, so ist auch ihr Produkt $p$ differenzierbar und es gilt:

$p(x)=u(x)\cdot v(x)$ (Funktion)

$p'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$ (Ableitungsfunktion)

Post: Produktregel (ausführliche Erklärung mit Beweis)

Quotientenregel

Sind zwei Funktionen $u$ und $v$ in $x_0$ differenzierbar, und ist $v(x) \neq 0$ , dann ist die Quotientenfunktion $q(x)$ an der Stelle $x_0$ differenzierbar und es gilt:

$q(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$ (Funktion)

$q'(x)=\frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{{v(x)}^2}$ (Ableitungsfunktion)

Post: Quotientenregel (ausführliche Erklärung mit Beweis)

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Diese Webseite habe ich während meines Abiturs aufgesetzt und betrieben. Ich habe einige Themen, die mich besonders interessiert haben, in meinem Stil aufbereitet und veröffentlicht. Jetzt studiere ich Physik.

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