Die natürliche Exponentialfunktion

Eigenschaften

f(x)=e^x hat folgende Eigenschaften:

  1. streng monoton steigend (f ist also umkehrbar)
  2. stetig
  3. differenzierbar
  4. \mathbb{W}= \mathbb{R}^+
  5. e^0=1 und e^1=e
  6. f'(x)=e^x

Umkehrfunktion

f(x)=e^x

y=e^x

\ln y=x\ln e wobei \ln e = 1

x=\frac{\ln y}{\ln e}

y=\frac{\ln x}{\ln e} wobei \ln e = 1

y=\ln x

f^{-1}(x) = \ln x

Nun haben wird die natürliche Logarithmusfunktion.

Wichtiger Satz

Wendet man die Umkehrfunktion f^{-1} und die Funktion f nacheinander auf x an, dann entsteht x.

    \[f(f^{-1}(x))=x\]

Übertragung auf e-Funktion:

    \[e^{\ln x}=x\]

    \[\ln e^x=x\]

    \[x\ln e = x\]

Beispiel

    \[f(x)=x^{\frac{1}{x}}=e^{\ln(x^{\frac{1}{x}})}\]

Dies kann besonders bei Grenzwerten nützlich werden.

Entdeckung der Exponentialfunktion

(1)

f(x)=2^x

f'(x)=0,7\cdot 2^x

Irgendwo zwischen 0,7 und 1,1 muss c=1 liegen. Es muss also eine Funktion geben, die sich selbst als Ableitungsfunktion hat. Die Basis a dieser Funktion wird mit \mathrm{e} bezeichnet.

(2)

f(x)=\mathrm{e}^x

f'(x)=1\cdot \mathrm{e}^x = \mathrm{e}^x

(3)

f(x)=3^x

f(x)=1,1\cdot 3^x

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