Umkehrfunktionen

Eine Funktion f, x \mapsto f(x) heißt umkehrbar, wenn die Zuordnung f(x) \mapsto x ebenfalls eine Funktion ist.

Die Umkehrfunktion wird mit f^{-1} bezeichnet und für Funktion und Umkehrfunktion gelten folgende Definition- und Wertebereiche:

(1)   \begin{equation*}   \mathbb{D}_f=\mathbb{W}_{f^{-1}} \end{equation*}

(2)   \begin{equation*}   \mathbb{W}_f=\mathbb{D}_{f^{-1}}\end{equation*}

Bildung einer Umkehrfunktion

Es wird die Umkehrfunktion von f(x)=x^2-x-2 gebildet.

Rechnerisch

f(x)=y

y=x^2-x-2

Wir lösen die Gleichung nach x auf.

0=x^2-x-2-y

0=x^2-x-(2+y), p=-1, q=-(2+y)

x_{1,2}=\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}+(2+y)}

x_{1,2}=\frac{1}{2}\pm\sqrt{2, 25+y)}

x_{1}=\frac{1}{2}+\sqrt{2, 25+y)}

x_{2}=\frac{1}{2}-\sqrt{2, 25+y)}

Nun tauschen wir die Variablen x und y formal.

f^{-1}(x)=\frac{1}{2}+\sqrt{2,25+x}

Für die Umkehrfunktion gelten immer folgende Beziehungen: f(f^{-1}(x))=x

Wendet man die Funktion und die Umkehrfunktion gleichzeitig auf x (den Funktionsterm) an, so erhält man x.

Beispiel

f(x)=x^2, x\geq 0

f^{-1}(x)=\sqrt{x}

f(f^{-1}(x))=\sqrt{x^2}=x

1 Antwort zu “Umkehrfunktionen”

Schreibe einen Kommentar

Deine E-Mail-Adresse wird nicht veröffentlicht. Erforderliche Felder sind mit * markiert.