Exponentialfunktionen

Mit Exponentialfunktionen können Wachstum und Zerfallsprozesse beschrieben werden. Außerdem ist eine Exponentialfunktion immer streng monoton, wodurch man sie umkehren kann.

(1) Wachstum: f(t)=c\cdot a^t, a>1, \rightarrow Verdoppelungszeit T_2

(2) Zerfall: f(t)=c\cdot a^t, 0<a<1, \rightarrow Halbwertszeit T_{\frac{1}{2}

( 1 )

f(T_2)=2\cdot f(0) = 2\cdot c, f(0)=c\cdot a^0=c

f(T_2)=c\cdot a^(T_2)

c\cdot a^{T_2}=2\cdot c

a^{T_2}=2

T_2\cdot\ln(a)=\ln(2)

T_2=\frac{\ln(2)}{\ln(a)}

Verdoppelungszeit

( 2 )

f(T_{\frac{1}{2}})=\frac{f(0)}{2}=\frac{c}{2}

c\cdot a^{T_{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2}c

a^{T_{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2}

T_{\frac{1}{2}}\ln(a)=\ln(\frac{1}{2})

T_{\frac{1}{2}}=\frac{\ln(\frac{1}{2})}{\ln(a)}

T_{\frac{1}{2}}=\frac{\ln(1)-\ln(2)}{\ln(a)}

T_{\frac{1}{2}}=-\frac{\ln(2)}{\ln(a)}

Halbwertszeit

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