Umkehrfunktionen

Veröffentlicht am 19. Januar 202019. Januar 2020 by Simon

Eine Funktion $f, x \mapsto f(x)$ heißt umkehrbar, wenn die Zuordnung $f(x) \mapsto x$ ebenfalls eine Funktion ist.

Die Umkehrfunktion wird mit $f^{-1}$ bezeichnet und für Funktion und Umkehrfunktion gelten folgende Definition- und Wertebereiche:

(1) $\begin{equation*} \mathbb{D}_f=\mathbb{W}_{f^{-1}} \end{equation*}$

(2) $\begin{equation*} \mathbb{W}_f=\mathbb{D}_{f^{-1}}\end{equation*}$

Bildung einer Umkehrfunktion

Es wird die Umkehrfunktion von $f(x)=x^2-x-2$ gebildet.

Rechnerisch

$f(x)=y$

$y=x^2-x-2$

Wir lösen die Gleichung nach $x$ auf.

$0=x^2-x-2-y$

$0=x^2-x-(2+y), p=-1, q=-(2+y)$

$x_{1,2}=\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}+(2+y)}$

$x_{1,2}=\frac{1}{2}\pm\sqrt{2, 25+y)}$

$x_{1}=\frac{1}{2}+\sqrt{2, 25+y)}$

$x_{2}=\frac{1}{2}-\sqrt{2, 25+y)}$

Nun tauschen wir die Variablen $x$ und $y$ formal.

$f^{-1}(x)=\frac{1}{2}+\sqrt{2,25+x}$

Für die Umkehrfunktion gelten immer folgende Beziehungen: $f(f^{-1}(x))=x$

Wendet man die Funktion und die Umkehrfunktion gleichzeitig auf $x$ (den Funktionsterm) an, so erhält man $x$ .

Beispiel

$f(x)=x^2, x\geq 0$

$f^{-1}(x)=\sqrt{x}$

$f(f^{-1}(x))=\sqrt{x^2}=x$

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1 Antwort zu “Umkehrfunktionen”

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