Grenzwerte für Funktionen

Der Grenzwert für x\to\infty und x\to -\infty

Den Grenzwert von Funktionen gegen \infty und -\infty beschreibt man folgender Maßen:

    \[\lim_{x\to \infty} f(x)\]

Wir nutzen die Funktion f(x)=\frac{x+1}{x-2} als Beispiel.

Vermutung

Eine Vermutung kann man z. B. durch einen Graphen aufstellen.

    \[\lim_{x\to\infty} f(x) = 1\]

Testwerte

xf(x)
101,371
1001,03
10001,003
\downarrow\downarrow
x \to \inftyf(x)\rightarrow 1

Testfolge

Die Testfolge ist dafür da eine unendliche Menge in einen Grenzwert der Funktion einzusetzen.

    \[x_n = n\]

    \[n \in \mathbb{N}\]

Die Testfolge x_n beinhaltet Alle natürlichen Zahlen.

    \[\lim_{n \to \infty}n=\infty\]

Funktionswertfolge

Die Testfolge ist nun in die Funktion, die es zu prüfen gilt, einzusetzen.

Bei f(x)=\frac{x+1}{x-2} würde das folgendermaßen aussehen.

    \[f(x_n)=\frac{n+1}{n-2}\]

Nun läuft n gegen \infty

    \[\lim_{n \to \infty}(\frac{n+1}{n-2})\]

    \[= \lim_{n \to \infty}\frac{n(1+\frac{1}{n})}{n(1-\frac{2}{n})}\]

    \[= \lim_{n \to \infty}\frac{1+\frac{1}{n}}{1-\frac{2}{n}}= \frac{1}{1} = 1\]

und es ist leicht zu sehen, dass der Grenzwert 1 ist.

Allgemeine Testfolge

    \[x_n\]

    \[\lim_{n\to \infty}x_n=\infty}\]

    \[f(x_n)=\frac{x_n+1}{x_n-2}\]

    \[\lim_{x_n \to \infty}(\frac{x_n+1}{x_n-2})\]

    \[= \lim_{x_n \to \infty}\frac{x_n(1+\frac{1}{x_n})}{x_n(1-\frac{2}{x_n})}\]

    \[= \lim_{x_n \to \infty}\frac{1+\frac{1}{x_n}}{1-\frac{2}{x_n}}= \frac{1}{1} = 1\]

Der Grenzwert an einer Stelle x_0

Den Grenzwert von Funktionen gegen x_0 beschreibt man folgender Maßen:

    \[\lim_{x\to x_0} f(x)\]

Wir nutzen die Funktion f(x)= \frac{x^2-1}{x-1} als Beispiel und gucken uns den Grenzwert an der Stelle x_0=1 an.

Vermutung

Eine Vermutung kann man z. B. durch einen Graphen aufstellen.

    \[\lim_{x\to\infty} f(x) = 2\]

Testwerte

xf(x)
1,12,1
1,012,01
1,0012,001
\downarrow\downarrow
x \to 1f(x)\rightarrow 2

Testfolge

Die Testfolge ist dafür da eine unendliche Menge in einen Grenzwert der Funktion einzusetzen.

    \[x_n = 1+\frac{1}{n}\]

    \[n \in \mathbb{N}\]

Die Testfolge x_n hat den Grenzwert 1 um der Stelle x_0=1 nahe zu kommen.

    \[\lim_{n \to \infty}1+\frac{1}{n}=1\]

Funktionswertfolge

Die Testfolge ist nun in die Funktion, die es zu prüfen gilt, einzusetzen.

Bei f(x)= \frac{x^2-1}{x-1} würde das folgendermaßen aussehen.

    \[f(x)=\frac{(1+\frac{1}{n})^2-1}{1+\frac{1}{n}-1}\]

Nun läuft n gegen \infty

    \[\lim_{n \to \infty}\frac{(1+\frac{1}{n})^2-1}{1+\frac{1}{n}-1}\]

    \[= \lim_{n \to \infty}\frac{1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}-1}{1+\frac{1}{n}-1}\]

    \[= \lim_{n \to \infty}\frac{\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{n}}\]

    \[= \lim_{n \to \infty}(\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2})\cdot \frac{n}{1}\]

    \[= \lim_{n \to \infty}2+\frac{1}{n}= 2\]

und es ist leicht zu sehen, dass der Grenzwert 2 ist.

Allgemeine Testfolge

    \[x_n\]

    \[\lim_{n\to \infty}x_n=\infty}\]

    \[f(x_n)=\frac{{x_n}^2-1}{x_n-1}\]

    \[\lim_{n \to \infty}\frac{{x_n}^2-1}{x_n-1}\]

    \[= \lim_{n \to \infty}\frac{(x_n-1)(x_n+1)}{x_n-1}\]

    \[= \lim_{n \to \infty}x_n+1\]

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