Radialkraft

Radialkraft, oft auch Zentripetalkraft genannt, ist die kraft, welche auf einen sich rotierenden Körper auf einer Kreisbahn wirkt. Der Kraftvector \vec{F_r} zeigt immer auf die Rotationsachse des rotierenden Objekts. Dieser Artikel bezieht sich auf die Herleitung der anzuwendenden Formeln.

Formeln

Es gibt mehrer Formeln um die Radialkraft auszurechnen:

(1) \vec{F_r} = m\cdot\frac{v^2}{r}

(2) \vec{F_r} = m\cdot\frac{4\pi^2\cdot r}{T^2}

(3) \vec{F_r} = m\cdot\omega^2\cdot r

Die Formeln stehen für die verschiedenen Methoden, wie man die Radialkraft F_r berechnen kann. Diese kann man wunderbar nachvollziehen, indem man sich die Herleitung der Formeln im Folgenden zu Gemüte führt.

Kraft F wurde von Isaak Newton im newtonschen Grundgesetzt formuliert und besagt, dass Sie das Produkt aus Masse m und Beschleunigung \vec{a} ist. Sprich \vec{F_r} = m \cdot \vec{a}.

In allen drei oben genannten Formeln sieht man die Masse m ganz klar. Was ist aber mit der Beschleunigung \vec a?

Radialbeschleunigung

(1) Die Radialbeschleunigung a_r ist das Quadrat der Geschwindigkeit v^2 durch den Radius r. So kann man die Formel \vec{F_r} = m\cdot\frac{v^2}{r} dann ganz leicht zusammensetzen.

(2) und (3) haben etwas gemeinsam. Die Formel (3) ist nämlich nur eine zusammengefasste Version der Formel (2). \omega (die Winkelgeschwindigkeit) ist definiert als \frac{2\pi}{T}, wobei 2\pi der Umfang eines Kreises vom Radius r=1 ist. T ist die Umlaufzeit. In einer Umlaufzeit wird der Winkel 2\pi durchlaufen.

Die Radialbeschleunigung a_r wird durch das Quadrat der Winkelgeschwindigkeit \omega^2 multipliziert mit dem Radius r berechnet (a_r= \omega^2 \cdot r).

Damit kann man die Formel (3) zusammensetzen:

\vec{F_r}=m\cdot  a_r =  \vec{F_r}=m\cdot  \omega^2  \cdot r

Parallel dazu kann man damit auch die Formel (2) zusammensetzen, da wir wissen, dass \omega =  \frac{2\pi}{T} ist muss \omega^2 =  \frac{4\pi^2}{T^2} sein. Da der Radius r gleich bleibt ergibt sich die Formel

\vec{F_r}=m\cdot  \frac{4\pi^2}{T^2} \cdot r

die man zusammenfassend auch so aufschreiben kann:

\vec{F_r}=m \cdot \frac{4\pi^2 \cdot r}{T^2}

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