Anwendung von Ableitungen

Das Steigungsproblem

Es wird behandelt, welche Steigung die Stelle $x_0$ hat oder welche Stelle die angegebene Steigung besitzt.

Stelle gegeben

Es wird die Tangentensteigung $m$ an der Stelle $x_0$ gesucht. Die Steigung berechnet wird berechnet, indem $x_0$ in $f'(x)$ eingesetzt wird.

$m=f'(x_0)$

Steigung gegeben

Es wird die Stelle $x_0$ gesucht an der sich die gegebene Steigung $m$ befindet. Dafür muss die erste Ableitung mit der Steigung $m$ gleichgesetzt werden und nach $x$ umgestellt werden.

$f'(x)=m$

Das Steigungswinkelproblem

Hierbei wird beantwortet, welchen Steigungswinkel die Funktion an der Stelle $x_0$ hat.

Mithilfe des Arkustangens wird die herausgefundene Steigung in einen Winkel umgewandelt.

$\tan \alpha = f'(x_0)$

$\alpha = \arctan f'(x_0)$

Das Extremalproblem

Klärung der Hoch- und Tiefpunkt einer Funktion $f$ .

Um den Hoch- oder Tiefpunkt einer Funktion $f$ zu finden muss die $f'(x)$ null gesetzt werden und das Ergebnis bzw. die Ergebnisse in $f''(x)$ eingesetzt werden. Wenn die Einsetzung in die 2. Ableitung ein negatives Ergebnis ausgibt, dann handelt es sich um einen Hochpunkt. Gibt sie jedoch einen positiven Wert auch handelt es sich um eine Tiefpunkt.

$f'(x) = 0$

$f''(x_1) < 0 \Rightarrow$ Hochpunkt

Um den y-Wert zu berechnen setzt man den beim Nullsetzen der 1. Ableitung gefundenen x-Wert in die Funktion $f(x)$ ein.

$y_1 = f(x_0)$

Das Tangentenproblem

Die Gleichung der Tangente wird an der Stelle $x_0$ auf der Funktion $f(x)$ gefunden.

Ansatz

$t(x)=mx+n$

Werte

$t(x)=f(x)$

$m=f'(x)$

$x=x_0$

n berechnen

$f(x)=f'(x)\cdot x_0 + n$

$n=f(x)-f'(x)\cdot x_0$

Tangentengleichung

$t(x)=f'(x) \cdot x + (f(x)-f'(x)\cdot x_0)$

Das Schnittwinkelproblem

Schneiden sich die Graphen von $f$ und $g$ an der Stelle $x_0$ , so bilden ihre Tangenten dort zwei Winkel $\gamma$ und $\gamma'$ miteinander.

Den kleineren der beiden Winkel bezeichnet man als Schnittwinkel $\gamma$ von $f$ und $g$ an der Stelle $x_0$ , wenn $(0\leq \gamma \leq 90^{\circ})$ gilt.

1. Steigungswinkel $\alpha$ von $f$ bei $x_0$

$\tan \alpha=f'(x_0)$

$\alpha = \arctan(f'(x_0))$

2. Steigungswinkel $\beta$ von $g$ bei $x_0$

$\tan \alpha=g'(x_0)$

$\alpha = \arctan(g'(x_0))$

Winkelberechnung

$\gamma '= |\alpha - \beta|$

Wenn $\gamma '> 90^{\circ}$ dann ist der $\gamma = 180-\gamma '$ . Andernfalls ist der $\gamma = \gamma '$ .

Das Berührproblem

Es wird geprüft ob sich die Graphen von $f$ und $g$ nur in einem „treffen“.

Ansatz

Erst muss bewiesen werden, dass gleiche Funktionswerte existieren. Sie müssen sich ja in einem Punkt treffen um sich zu berühren. Es muss durch Gleichstellung der Funktionen die Stelle $x_0$ gefunden werden.

$f(x)=g(x)$

Nun muss bewiesen werden, dass die Funktionen an der vorher gefundenen Stelle $x_0$ die Gleiche Steigung haben. Dazu setze man diese in die ersten Ableitungen ein müsste die Gleichstellung eine wahre Aussage ergeben.

$f'(x)=g'(x)$

Anwendung von Ableitungen

Das Steigungsproblem

Stelle gegeben

Steigung gegeben

Das Steigungswinkelproblem

Das Extremalproblem

Das Tangentenproblem

Ansatz

Werte

n berechnen

Tangentengleichung

Das Schnittwinkelproblem

1. Steigungswinkel $\alpha$ von $f$ bei $x_0$

2. Steigungswinkel $\beta$ von $g$ bei $x_0$

Winkelberechnung

Das Berührproblem

Ansatz

Ähnliche Beiträge

Schreibe einen Kommentar Antworten abbrechen

Das Steigungsproblem

Stelle gegeben

Steigung gegeben

Das Steigungswinkelproblem

Das Extremalproblem

Das Tangentenproblem

Ansatz

Werte

n berechnen

Tangentengleichung

Das Schnittwinkelproblem

1. Steigungswinkel von bei

2. Steigungswinkel von bei

Winkelberechnung

Das Berührproblem

Ansatz

Ähnliche Beiträge

Schreibe einen Kommentar Antworten abbrechen

1. Steigungswinkel $\alpha$ von $f$ bei $x_0$

2. Steigungswinkel $\beta$ von $g$ bei $x_0$