Die natürliche Exponentialfunktion

Veröffentlicht am 20. Januar 202020. Januar 2020 by Simon

Eigenschaften

$f(x)=e^x$ hat folgende Eigenschaften:

streng monoton steigend (f ist also umkehrbar)
stetig
differenzierbar
$\mathbb{W}= \mathbb{R}^+$
$e^0=1$ und $e^1=e$
$f'(x)=e^x$

Umkehrfunktion

$f(x)=e^x$

$y=e^x$

$\ln y=x\ln e$ wobei $\ln e = 1$

$x=\frac{\ln y}{\ln e}$

$y=\frac{\ln x}{\ln e}$ wobei $\ln e = 1$

$y=\ln x$

$f^{-1}(x) = \ln x$

Nun haben wird die natürliche Logarithmusfunktion.

Wichtiger Satz

Wendet man die Umkehrfunktion $f^{-1}$ und die Funktion $f$ nacheinander auf $x$ an, dann entsteht $x$ .

$f(f^{-1}(x))=x$

Übertragung auf e-Funktion:

$e^{\ln x}=x$

$\ln e^x=x$

$x\ln e = x$

Beispiel

$f(x)=x^{\frac{1}{x}}=e^{\ln(x^{\frac{1}{x}})}$

Dies kann besonders bei Grenzwerten nützlich werden.

Entdeckung der Exponentialfunktion

$(1)$

$f(x)=2^x$

$f'(x)=0,7\cdot 2^x$

Irgendwo zwischen $0,7$ und $1,1$ muss $c=1$ liegen. Es muss also eine Funktion geben, die sich selbst als Ableitungsfunktion hat. Die Basis $a$ dieser Funktion wird mit $\mathrm{e}$ bezeichnet.

$(2)$

$f(x)=\mathrm{e}^x$

$f'(x)=1\cdot \mathrm{e}^x = \mathrm{e}^x$

$(3)$

$f(x)=3^x$

$f(x)=1,1\cdot 3^x$

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Diese Webseite habe ich während meines Abiturs aufgesetzt und betrieben. Ich habe einige Themen, die mich besonders interessiert haben, in meinem Stil aufbereitet und veröffentlicht. Jetzt studiere ich Physik.

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