Kettenregel

Wenn die Funktion g an der Stelle x_0 und die Funktion f an der Stelle g(x_0) differenzierbar ist, dann ist auch die Verkettung der beiden Funktionen h=f\circ g an der Stelle x_0 differenzierbar. Eine Verkettung ist eine Funktion in einer Funktion.

g ist die innere und f ist die äußere Funktion.

Es gilt:

h(x_0)=f(g(x_0)) (Funktion)

h'(x_0)=f'(g(x_0))\cdot g'(x_0) (Ableitungsfunktion)

Sonderfall – lineare Kettenregel

h(x_0)=f(ax+b)

h'(x_0)=a \cdot f'(ax+b)

Beispiel 1

Wir betrachten die verkettete Funktion h(x)=(2x+5)^5. Die äußere Funktion lautet x^5 und die innere 2x+5. Meist benennt man die äußere Funktion f und die innere g.

f(x) = x^5

g(x) = 2x+5

Ableitungen bilden

f'(x) = 5x^4

g'(x) = 2

Kettenregel anwenden

Jetzt muss man g in f' einsetzen und das Ganze mit g' multiplizieren.

h'(x)=5(2x+5)^4 \cdot 2

Zusammenfassen

h'(x)=10(2x+5)^4

Beispiel 2

Wir betrachten die verkettete Funktion h(x)=\sqrt{x+6} mit x\geq-6. Die äußere Funktion lautet \sqrt{x} und die innere x+6.

f(x) = \sqrt{x}

g(x) = x+6

Ableitungen bilden

f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}

g'(x) = 1

Kettenregel anwenden

Jetzt muss man g in f' einsetzen und das Ganze mit g' multiplizieren.

h'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+6}}\cdot 1

Zusammenfassen

h'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+6}}

Beispiel 3

Wir betrachten eine verkettete Exponentialfunktion h(x)=e^{2x}. Die äußere Funktion lautet e^x und die innere 2x.

f(x) = e^x

g(x) = 2x

Ableitungen bilden

f'(x) = e^x

g'(x) = 2

Kettenregel anwenden

Jetzt muss man g in f' einsetzen und das Ganze mit g' multiplizieren.

h'(x)=e^{2x}\cdot 2

Zusammenfassen

h'(x)=2e^{2x}

2 Antworten zu “Kettenregel”

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