Ableitungsregeln

Mit Ableitungsregeln kann man Ableitungen schneller ausrechnen.

Potenzregel

f(x)=x^n

f'(x)=nx^{n-1}

Beispiel

f(x)=x^2

f'(x)=2x

g(x)=x^4

g'(x)=4x^3

Konstantenregel

Konstanten werden beim Ableiten null.

f(x)=c

f'(x)=0

Beispiel

f(x)=4

f'(x)=0

Summenregel

Sind zwei Funktionen f und g an der Stelle x_0 differenzierbar, so ist auch die Summenfunktion s an der Stelle x_0 differenzierbar und es gilt:

s(x)=f(x)+g(x)

s'(x)=f'(x)+g'(x)

Beispiel

f(x)=x^2+x^3

f'(x)=2x+3x^2

Faktorregel

Faktoren bleiben beim Ableiten erhalten.

f(x)=c\cdot f(x)

f'(x)=c\cdot f'(x)

c \in \mathbb{R}

Beispiel

f(x)=3x^4

f'(x)=3\cdot 4x^3 = 12x^3

Quadratwurzelregel

Die Ableitung von \sqrt{x} ist \frac{1}{2\sqrt{x}} für x>0.

Reziprokenregel

Die Ableitung von \frac{1}{x} ist -\frac{1}{x^2} für x \neq 0.

Kettenregel

h(x_0)=f(g(x_0)) (Funktion)

h'(x_0)=f'(g(x_0))\cdot g'(x_0) (Ableitungsfunktion)

Post: Kettenregel (ausführliche Erklärung mit Beispielen)

Produktregel

Sind zwei Funktionen u und v differenzierbar, so ist auch ihr Produkt p differenzierbar und es gilt:

p(x)=u(x)\cdot v(x) (Funktion)

p'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x) (Ableitungsfunktion)

Post: Produktregel (ausführliche Erklärung mit Beweis)

Quotientenregel

Sind zwei Funktionen u und v in x_0 differenzierbar, und ist v(x) \neq 0, dann ist die Quotientenfunktion q(x) an der Stelle x_0 differenzierbar und es gilt:

q(x) = \frac{u(x)}{v(x)} (Funktion)

q'(x)=\frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{{v(x)}^2} (Ableitungsfunktion)

Post: Quotientenregel (ausführliche Erklärung mit Beweis)

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