Berechnen von Grenzwerten

Grenzwerte zeigen einem welchen Wert die Funktion an einer bestimmten Stelle $x_0$ oder im Unendlichen annehmen.

konstante Funktionen

$\lim_{x\to x_0}c=c$

identische Funktionen

$\lim_{x\to x_0}x=x$

Grenzwertsätze für Funktionen

Wenn $f$ und $g$ Funktionen mit den Grenzwerten $\lim_{x\to x_0}f(x)=A$ und $\lim_{x\to x_0}g(x)=B$ sind dann gilt:

$(1)\lim_{\substack{x\to x_0 \\ x\to \pm \infty}}(f(x) + g(x))=A+B$

$(2)\lim_{\substack{x\to x_0 \\ x\to \pm \infty}}(f(x) - g(x))=A-B$

$(3)\lim_{\substack{x\to x_0 \\ x\to \pm \infty}}(f(x) \cdot g(x))=A\cdot B$

$(4)\lim_{\substack{x\to x_0 \\ x\to \pm \infty}}(\frac{f(x) }{g(x)})=\frac{A}{B}$

Bei $(4)$ muss $B\neq 0$ und $g(x)}\neq 0$ in einer Umgebung von $x_0$ gelten.

Existieren die Einzelgrenzwerte nicht, kann keine Schlussfolgerung über einen Gesamtgrenzwert gezogen werden.

Grenzwertbestimmung mit Testeinsetzungen

Bestimme das Grenzverhalten der Funktion $f(x)=\frac{2x+1}{x}, x>0$ im Unendlichen.

$x$	$f(x)$
10	2,1
100	2,01
1000	2,001
$\downarrow$	$\downarrow$
$\infty$	$2$

Bestimme das Grenzverhalten der Funktion $f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$ an der Stelle $x_0=2$ .

Linksseitiger Grenzwert

$\lim_{\substack{x\to 2 \\ x<2}}$

$x$	$f(x)$
1,9	3,9
1,99	3,99
1,999	3,999
$\downarrow$	$\downarrow$
$2$	$4$

rechtsseitiger Grenzwert

$\lim_{\substack{x\to 2 \\ x>2}}$

$x$	$f(x)$
2,1	4,1
2,01	4,01
2,001	4,001
$\downarrow$	$\downarrow$
$2$	$4$

Grenzwertbestimmung mittels Termvereinfachung

Der Funktionsterm soll in einfacher zu beurteilende Teilterme vereinfacht werden. Dies kann man mit den binomischen Formeln, „Auseinanderziehen“ des Bruches und der Division oder Ausklammern erreichen.

binomische Formeln

$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$ kann man so $f(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$ umschreiben und dann den Faktor $x-2$ rauskürzen, sodass $f(x)=x+2$ entsteht.

„Auseinanderziehen“ und Division

In $f(x)=\frac{2x-1}{x}$ kann man auch so $f(x)=\frac{2x}{x}-\frac{1}{x}$ umschreiben und auf $f(x)=2-\frac{1}{x}$ vereinfachen.

Nach diesen Verfahren kann man die Grenzwerte einfacher erkennen und berechnen.

Grenzwertbestimmung mit der h-Methode

Die h-Methode besteht darin, dass man für $x=x_0+h$ setzt und dann mit $h$ gegen $0$ strebt. Mit der Methode kann man kritische Stellen wie Definitionslücken gut auf ihr Verhalten überprüfen.

Beispiel

$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$ soll an der Stelle $x_0=2$ überprüft werden, da sie an dieser nicht definiert ist.

$\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}$

Jetzt wird $x = 2 + h$ gesetzt.

$= \lim_{h\to 0}\frac{(2+h)^2-4}{(2+h)-2}$

$= \lim_{h\to 0}\frac{(4+4h+h^2)-4}{(2+h)-2}$

$= \lim_{h\to 0}\frac{4h+h^2}{h}$

$= \lim_{h\to 0}4+h=4$

Die h-Methode ist oft die einfachste Methode zur Berechnung von Grenzwerten. Sie ermöglicht häufig eine Anwendung der Binomischen Formeln. Dadurch ergeben sich Vereinfachungen, welche die Grenzwertbestimmung erleichtern bzw. überhaut erst ermöglichen.