Produktregel

Sind zwei Funktionen u und v differenzierbar, so ist auch ihr Produkt p differenzierbar und es gilt:

p(x)=u(x)\cdot v(x) (Funktion)

p'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x) (Ableitungsfunktion)

kurz

p'=u'v+uv'

Beweis

Um formell zu zeigen, dass die Gleichung stimmt müssen wir die erste Ableitung der Funktion p(x)=u(x)\cdot v(x) mithilfe der h-Methode berechnen.

p'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{p(x+h)-p(x)}{h}

= \lim_{h\to 0}\frac{u(x+h)\cdot v(x+h)-u(x)\cdot v(x)}{h}

= \lim_{h\to 0}\frac{u(x+h)\cdot v(x+h)-u(x)\cdot v(x+h)+u(x)\cdot v(x+h)-u(x)\cdot v(x)}{h}

= \lim_{h\to 0}\frac{[u(x+h)-u(x)]\cdot v(x+h)+u(x)\cdot [v(x+h)-v(x)]}{h}

Durch Unterteilung des Grenzwertes können die daraus entstehenden Grenzwerte folgendermaßen zusammengefasst werden.

\lim_{h\to 0}\frac{u(x+h)-u(x)}{h}=u'(x)

\lim_{h\to 0}\frac{v(x+h)}{h} = v(x)

\lim_{h\to 0}\frac{u(x)}{h} = u(x)

\lim_{h\to 0}\frac{v(x+h)-v(x)}{h} = v'(x)

Nun werden die Grenzwertsätze angewandt.

\lim_{h\to 0}\frac{u(x+h)-u(x)}{h}\cdot \lim_{h\to 0}\frac{v(x+h)}{h}+\lim_{h\to 0}\frac{u(x)}{h}\cdot \lim_{h\to 0}\frac{v(x+h)-v(x)}{h}

=u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x)

2 Antworten zu “Produktregel”

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