Kettenregel

Veröffentlicht am 14. Januar 202018. Januar 2020 by Simon

Wenn die Funktion $g$ an der Stelle $x_0$ und die Funktion $f$ an der Stelle $g(x_0)$ differenzierbar ist, dann ist auch die Verkettung der beiden Funktionen $h=f\circ g$ an der Stelle $x_0$ differenzierbar. Eine Verkettung ist eine Funktion in einer Funktion.

$g$ ist die innere und $f$ ist die äußere Funktion.

Es gilt:

$h(x_0)=f(g(x_0))$ (Funktion)

$h'(x_0)=f'(g(x_0))\cdot g'(x_0)$ (Ableitungsfunktion)

Sonderfall – lineare Kettenregel

$h(x_0)=f(ax+b)$

$h'(x_0)=a \cdot f'(ax+b)$

Beispiel 1

Wir betrachten die verkettete Funktion $h(x)=(2x+5)^5$ . Die äußere Funktion lautet $x^5$ und die innere $2x+5$ . Meist benennt man die äußere Funktion $f$ und die innere $g$ .

$f(x) = x^5$

$g(x) = 2x+5$

Ableitungen bilden

$f'(x) = 5x^4$

$g'(x) = 2$

Kettenregel anwenden

Jetzt muss man $g$ in $f'$ einsetzen und das Ganze mit $g'$ multiplizieren.

$h'(x)=5(2x+5)^4 \cdot 2$

Zusammenfassen

$h'(x)=10(2x+5)^4$

Beispiel 2

Wir betrachten die verkettete Funktion $h(x)=\sqrt{x+6}$ mit $x\geq-6$ . Die äußere Funktion lautet $\sqrt{x}$ und die innere $x+6$ .

$f(x) = \sqrt{x}$

$g(x) = x+6$

Ableitungen bilden

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$g'(x) = 1$

Kettenregel anwenden

Jetzt muss man $g$ in $f'$ einsetzen und das Ganze mit $g'$ multiplizieren.

$h'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+6}}\cdot 1$

Zusammenfassen

$h'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+6}}$

Beispiel 3

Wir betrachten eine verkettete Exponentialfunktion $h(x)=e^{2x}$ . Die äußere Funktion lautet $e^x$ und die innere $2x$ .

$f(x) = e^x$

$g(x) = 2x$

Ableitungen bilden

$f'(x) = e^x$

$g'(x) = 2$

Kettenregel anwenden

Jetzt muss man $g$ in $f'$ einsetzen und das Ganze mit $g'$ multiplizieren.

$h'(x)=e^{2x}\cdot 2$

Zusammenfassen

$h'(x)=2e^{2x}$

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Diese Webseite habe ich während meines Abiturs aufgesetzt und betrieben. Ich habe einige Themen, die mich besonders interessiert haben, in meinem Stil aufbereitet und veröffentlicht. Jetzt studiere ich Physik.

2 Antworten zu “Kettenregel”

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