Substitutionsverfahren

Veröffentlicht am 18. Januar 202027. Dezember 2020 by Simon

Beim Substitutionsverfahren substituiert man $x^2 = z$ , damit man eine Gleichung des 4. Grades lösen kann. Idem man eine Gleichung 4. Grades substituiert bekommt man eine quadratische Gleichung, die man mit der p-q-Formel berechnen kann.

Beispiel

$f(x)=x^4+2x^2-8$

Nun substituiert man $x^2 = z$

$f(x)=z^2+2z-8$

und kann die p-q-Formel benutzen um auf die beiden möglichen Lösungen der Variable $z$ zu kommen.

$\begin{equation*}\begin{split}{z}_{1/2}&=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{ (\frac{p}{2})^2-q}\\{z}_{1/2}&=-1 \pm \sqrt{ 1^2+8}\\{z}_{1/2}&=-1 \pm 3\\{z}_{1}&=2\\{z}_{2}&=-4\end{split}\end{equation*}$

Jetzt muss man rücksubstituieren, denn $z_1$ und $z_2$ sind ja nicht die Lösungen der originalen Gleichung, sondern die der substituierten.

Es muss die Wurzel aus den Ergebnissen gezogen werden.

$x^2=2$

$x_1=\sqrt{2}$

$x_2=-\sqrt{2}$

$x^2=-4$

Die Wurzel aus eine negativen Zahl zu ziehen ist nicht möglich.

Wir haben nun zwei Lösungen für die originale Gleichung gefunden.

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1 Antwort zu “Substitutionsverfahren”

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