Produktregel

Sind zwei Funktionen $u$ und $v$ differenzierbar, so ist auch ihr Produkt $p$ differenzierbar und es gilt:

$p(x)=u(x)\cdot v(x)$ (Funktion)

$p'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$ (Ableitungsfunktion)

$p'=u'v+uv'$

Beweis

Um formell zu zeigen, dass die Gleichung stimmt müssen wir die erste Ableitung der Funktion $p(x)=u(x)\cdot v(x)$ mithilfe der h-Methode berechnen.

$p'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{p(x+h)-p(x)}{h}$

$= \lim_{h\to 0}\frac{u(x+h)\cdot v(x+h)-u(x)\cdot v(x)}{h}$

$= \lim_{h\to 0}\frac{u(x+h)\cdot v(x+h)-u(x)\cdot v(x+h)+u(x)\cdot v(x+h)-u(x)\cdot v(x)}{h}$

$= \lim_{h\to 0}\frac{[u(x+h)-u(x)]\cdot v(x+h)+u(x)\cdot [v(x+h)-v(x)]}{h}$

Durch Unterteilung des Grenzwertes können die daraus entstehenden Grenzwerte folgendermaßen zusammengefasst werden.

$\lim_{h\to 0}\frac{u(x+h)-u(x)}{h}=u'(x)$

$\lim_{h\to 0}\frac{v(x+h)}{h} = v(x)$

$\lim_{h\to 0}\frac{u(x)}{h} = u(x)$

$\lim_{h\to 0}\frac{v(x+h)-v(x)}{h} = v'(x)$

Nun werden die Grenzwertsätze angewandt.

$\lim_{h\to 0}\frac{u(x+h)-u(x)}{h}\cdot \lim_{h\to 0}\frac{v(x+h)}{h}+\lim_{h\to 0}\frac{u(x)}{h}\cdot \lim_{h\to 0}\frac{v(x+h)-v(x)}{h}$

$=u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x)$