Quotientenregel

Sind zwei Funktionen $u$ und $v$ in $x_0$ differenzierbar, und ist $v(x) \neq 0$ , dann ist die Quotientenfunktion $q(x)$ an der Stelle $x_0$ differenzierbar und es gilt:

$q(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$ (Funktion)

$q'(x)=\frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{{v(x)}^2}$ (Ableitungsfunktion)

kurz

$q'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

Beweis

Um die Quotientenregel formell zu beweisen kann man Gebrauch von der Produktregel und der Kettenregel machen.

$q(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$ ist dafür umzuschreiben in $p(x)=u(x)\cdot \frac{1}{v(x)}$ .

$q'(x)=u'(x)\cdot \frac{1}{v(x)}+u(x)\cdot (-\frac{1}{{v(x)}^2})\cdot v'(x)$

$q'(x)=\frac{u'(x)}{v(x)}-\frac{u(x)\cdot v'(x)}{{v(x)}^2}$

Nun muss nur noch der Nenner gleich gemacht werden.

$q'(x)=\frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{{v(x)}^2}$

Quotientenregel

kurz

Beweis

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